Re: [tmoz:433761] Polinomlar

Öncelikle iki değerli hocamızın çözümlerini izlemekten zevk aldığımı söyleyeyim. İyi ki varsınız.

Sanırım Rasim Hoca'nın yazdığı çözüm aslında genel çözümle ilgiliydi. O yüzden biraz uzunmuş gibi görünen bir çözüm yaptı.

Örnek: 

f(x)=x^3 fonksiyonu ile A(1,f(1)) , B(2,f(2))  ve C(3,f(3)) noktalarında kesişen fonksiyonu bulunuz.

Çözüm:
g(x) = x^3 - [(x-1).(x-2).(x-3)]   gibi.

       

29 Haziran 2011 23:39 tarihinde Muharrem Şahin <muharrem49@gmail.com> yazdı:

Rasim Hocam;
Ben soruların pratik çözüm yollarında
kavramların geliştirilmesini önemli
buluyorum.
Önceki soruların sizin yaklaşımlarınızla
çözülmesi, "özdeşlik" kavramına katkılar
yapıyordu. Bence çok güzel oldu.
Bu son sorunuzda öne çıkardığınız
ilişkiyi, daha başka türden sorularla
ortaya koymanız daha iyi olmaz mı?
Bu soruyla karşılaşan biri, sizin öne
sürdüğünüz ilişkiyi hiç düşünmez.
Birkaç saniye fark için de verdiğiniz
bağıntıyı aklında tutmaya çalışmaz.
Oradaki bağıntıyı zorunlu olarak
düşündürecek bir soru yakalamalı.
Dediğim gibi, amaç kavramları
geliştirmek; daha kullanışlı duruma
getirmek olmalı, diye düşünüyorum.
Ben eksik anlamış da olabilirim.
Sevgiler, saygılar.

29 Haziran 2011 22:43 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsmzncr@gmail.com> yazdı:

> mantık aynı hocam. bu sefer teğet değil sadece. pratikliğe gelince bilindik
> yol olarak belki sizin yol söylenebilir ama işlem azlığı açısından benimkisi
> daha az görünüyor.
> RASİM ZENCİR
>
> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
> BEYNİN MEYVASIDIR
> MATEMATİK.
>
>
> 29 Haziran 2011 22:31 tarihinde Muharrem Şahin <muharrem49@gmail.com> yazdı:
>>
>> Noktalar  (-2,2),  (3,22);
>> y eksenini kestiği nokta (0,y)
>> (y-2)/2 = 20/5
>> y=10
>> İşlem hatasını ben yapmışım.:)
>> Ama soruda vermek istediğinizi anlayamadım.
>>
>> 29 Haziran 2011 22:27 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsmzncr@gmail.com>
>> yazdı:
>> > çözümünüzü  görebilir miyim hocam? kısalık açısından da elbette.
>> > RASİM ZENCİR
>> >
>> > EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> > BEYNİN MEYVASIDIR
>> > MATEMATİK.
>> >
>> >
>> > 29 Haziran 2011 22:24 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsmzncr@gmail.com>
>> > yazdı:
>> >>
>> >> işlemlerimi kontrol ettim.
>> >> 10 doğru gibi görünüyor.
>> >> acaba yanlış mı anlaşıldı?
>> >> RASİM ZENCİR
>> >> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >> MATEMATİK.
>> >>
>> >>
>> >> 29 Haziran 2011 22:07 tarihinde Muharrem Şahin <muharrem49@gmail.com>
>> >> yazdı:
>> >>>
>> >>> Rasim Hocam;
>> >>> Vermek istediğiniz başka bir şeydi sanıyorum.
>> >>> Bu sorunun normal yolu daha kısa.:)
>> >>> y=6 oluyor.
>> >>>
>> >>> 29 Haziran 2011 21:57 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> yazdı:
>> >>> > SORU:
>> >>> > f(x)=x^2+3x+4  parabolünü  (-2, f(-2)) ve (3, f(3)) noktalarında
>> >>> > kesen
>> >>> > doğrunun y eksenini kestiği nokta nedir?
>> >>> > YANIT:
>> >>> > istenen doğru denklemi
>> >>> > f(x)=(x^2+3x+4)-(x+2)(x-3)  şeklindedir. x=0 için
>> >>> > f(0)=4-(-6)=10 olur.
>> >>> >
>> >>> > RASİM ZENCİR
>> >>> >
>> >>> > EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> > BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> > MATEMATİK.
>> >>> >
>> >>> >
>> >>> > 29 Haziran 2011 21:00 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> > <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> > yazdı:
>> >>> >>
>> >>> >> bizi daha ileriye götürüyor hocam. inanın gönüllerimiz bir.
>> >>> >> duygularımız ortak. bilimlerle uğraşanların sevdalıyız biz.
>> >>> >> bir büyüğümüz, bir ustamız olarak yaptığınız çağrıya olumsuz yanıt
>> >>> >> vermek
>> >>> >> mümkün değil. tereddütümüz size yetişememek.
>> >>> >>
>> >>> >> RASİM ZENCİR
>> >>> >>
>> >>> >> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >> MATEMATİK.
>> >>> >>
>> >>> >>
>> >>> >> 29 Haziran 2011 19:38 tarihinde Muharrem Şahin
>> >>> >> <muharrem49@gmail.com>
>> >>> >> yazdı:
>> >>> >>>
>> >>> >>> Rasim Hocam;
>> >>> >>> Yaptığımız sohbetler beni daha ileriye
>> >>> >>> götürüyor.
>> >>> >>> Böyle sohbetleri çoğaltalım.
>> >>> >>> Bir çok değerli arkadaşımız var.
>> >>> >>> Herkes el versin; katılım çoğalsın.
>> >>> >>> Birbirimizi daha yukarılara çekelim.
>> >>> >>> Topyekün bir ilerleme sağlayalım.
>> >>> >>> Hiç birimiz "Ben oldum. Bana yeterim."
>> >>> >>> deme durumunda değiliz.
>> >>> >>> Bu sonu görünmeyen bir süreç.
>> >>> >>> Sevgiler, saygılar
>> >>> >>>
>> >>> >>> 29 Haziran 2011 19:14 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> >>> yazdı:
>> >>> >>> > Muharrem Hocam, aklınıza sağlık.
>> >>> >>> > sizin de ifade ettiğiniz gibi, y=x^2 parabolüne
>> >>> >>> > teğet paraboller
>> >>> >>> > içten teğet ise a>0 olmak üzere y=a(x-r)^2+x^2
>> >>> >>> > dıştan teğet ise a>0 olmak üzere y=-a(x-r)^2+x^2
>> >>> >>> > şeklindedir.
>> >>> >>> > sayenizde fark ettim. buna benzer başka sonuçlarda
>> >>> >>> > çıkarılabilir.
>> >>> >>> >
>> >>> >>> >
>> >>> >>> > RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >
>> >>> >>> > EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> > BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> > MATEMATİK.
>> >>> >>> >
>> >>> >>> >
>> >>> >>> > 29 Haziran 2011 18:19 tarihinde Muharrem Şahin
>> >>> >>> > <muharrem49@gmail.com>
>> >>> >>> > yazdı:
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >> Aranan parabollerin (0,4) ve (1,2)
>> >>> >>> >> noktalarından geçeceği koşulları
>> >>> >>> >> değerlendirilerek, denklemlerinin,
>> >>> >>> >> y=(-b-2).x^2 +bx+4 olduğu görülür.
>> >>> >>> >> y=x^2 ile teğet olacakları da değerlendirilerek
>> >>> >>> >> denklemleri y=10x^2 -12x+4 ve
>> >>> >>> >> y=2x^2 -4x+4  olarak bulunur.
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >> 29 Haziran 2011 14:45 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> >> <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> >>> >> yazdı:
>> >>> >>> >> > Muharrem HOCAM,
>> >>> >>> >> > sorunuzdan hareketle şöyle bir soru yazayım dedim.
>> >>> >>> >> > soru: y=x^2 parabolüne içten teğet olan , y eksenini (0,4)
>> >>> >>> >> > noktasında
>> >>> >>> >> > kesen
>> >>> >>> >> > ve A(1,2) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız.
>> >>> >>> >> > rasim zencir
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> > RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> > EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> >> > BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> >> > MATEMATİK.
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> > 29 Haziran 2011 13:57 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> >> > <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> >>> >> > yazdı:
>> >>> >>> >> >>
>> >>> >>> >> >> f(x)=x^2+(m+2)x+m^2+4 parabollerinin teğet olduğu parabolu
>> >>> >>> >> >> bulunuz.
>> >>> >>> >> >> çözüm: söz konusu parabol g(x) olsun. bu durumda
>> >>> >>> >> >> f(x)-g(x)=a(x-r)^2 şeklinde olmalı.
>> >>> >>> >> >> x^2+(m+2)x+m^2+4-g(x)=a(x-r)^2  ifadesini 4 ile
>> >>> >>> >> >> genişletelim.
>> >>> >>> >> >> 4x^2+4(m+2)x+4m^2+16-4g(x)=...
>> >>> >>> >> >> 3x^2+x^2+4mx+8x+4m^2+16-4g(x)=...
>> >>> >>> >> >> (x^2+4mx+4m^2)+(3x^2+8x+16)-4g(x)=4a(x-r)^2
>> >>> >>> >> >> eşitliğinin sağlanabilmesi için
>> >>> >>> >> >> 4g(x)=3x^2+8x+16 olmalı. buradan
>> >>> >>> >> >> g(x)=3/4x^2+2x+4    bulunur.
>> >>> >>> >> >> rasim zencir
>> >>> >>> >> >> RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >> >>
>> >>> >>> >> >> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> >> >> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> >> >> MATEMATİK.
>> >>> >>> >> >>
>> >>> >>> >> >>
>> >>> >>> >> >> 29 Haziran 2011 10:20 tarihinde Muharrem Şahin
>> >>> >>> >> >> <muharrem49@gmail.com>
>> >>> >>> >> >> yazdı:
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> 1.
>> >>> >>> >> >>> y=f(x)=x^2+(2m+3)x+m^2+4 parabollerine
>> >>> >>> >> >>> teğet olan doğru, y=g(x) olsun.
>> >>> >>> >> >>> x^2+(2m+3)x+m^2+4-g(x)=0
>> >>> >>> >> >>> denkleminin, m'nin her değeri için iki kat
>> >>> >>> >> >>> kökü olmalıdır.
>> >>> >>> >> >>> x^2+2mx+m^2+3x+4-g(x)=0
>> >>> >>> >> >>> eşitliğinde sol taraf, 3x+4-g(x)=0 iken
>> >>> >>> >> >>> m'nin her değeri için tam kare olacağından
>> >>> >>> >> >>> denklem iki kat kök verir.
>> >>> >>> >> >>> Buna göre; aranan doğru y=3x+4 olur.
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> Genel yaklaşımımızın, m'li terimlerin tümünü
>> >>> >>> >> >>> içine alacak bir tam kare oluşturmak
>> >>> >>> >> >>> olduğuna dikkat ediniz.
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> Bu yaklaşımla;
>> >>> >>> >> >>> örneğin, f(x)=x^2+(m+2)x+m^2+4 parabollerine
>> >>> >>> >> >>> teğet doğru bulunmaz.
>> >>> >>> >> >>> Bu parabollerin teğet olduğu bir parabol vardır.
>> >>> >>> >> >>> Bu parabolü bulunuz.
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> 2.
>> >>> >>> >> >>> y=-x^2 parabolüne  apsisi -2, -1, 0, 1, 2 noktalarında
>> >>> >>> >> >>> teğet olan ve baş kat sayısı 1 olan polinom fonksiyon
>> >>> >>> >> >>> y=f(x) olsun.
>> >>> >>> >> >>> f(x)+x^2=0 denkleminin, belirtilen noktalarda iki kat
>> >>> >>> >> >>> kökleri olmalıdır.
>> >>> >>> >> >>> Buna göre; en küçük dereceli f(x) fonksiyonu,
>> >>> >>> >> >>> f(x)=x^2.(x+2)^2.(x+1)^2.(x-1)^2.(x-2)^2 - x^2
>> >>> >>> >> >>> olup 10. derecedendir.
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> 3.
>> >>> >>> >> >>> y=f(x) ve y=g(x) iki parabol olsun ve bunlar
>> >>> >>> >> >>> a ve b apsisli iki farklı noktada teğet olsunlar.
>> >>> >>> >> >>> f(x)-g(x)=0 denkleminin iki katlı kökleri a ve b
>> >>> >>> >> >>> olacağından, en azından,
>> >>> >>> >> >>> f(x)-g(x)=(x-a)^2.(x-b)^2 olmalıdır
>> >>> >>> >> >>> Sol tarafın derecesi 2 olduğundan bu eşitlik
>> >>> >>> >> >>> mümkün değildir.
>> >>> >>> >> >>> Öyleyse; 2. dereceden iki parabol 1'den fazla noktada
>> >>> >>> >> >>> teğet olamazlar.
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> 29 Haziran 2011 00:25 tarihinde barbaros gur
>> >>> >>> >> >>> <bhgur71@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> > başkatsayı ile ilgili bir sıkıntı sezmiştim haklısınız,
>> >>> >>> >> >>> > çözüm
>> >>> >>> >> >>> > metodu
>> >>> >>> >> >>> > her
>> >>> >>> >> >>> > ikisinde de sizin öğrettiğinizdir.
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> > saygılarımla..
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> > 29 Haziran 2011 00:23 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> >> >>> > <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> > yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >> barbaros hocam 2. soruya bir daha bakar mısınız.
>> >>> >>> >> >>> >> RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> >> >>> >> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> >> >>> >> MATEMATİK.
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >> 29 Haziran 2011 00:21 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> >> >>> >> <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> >> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>> iki parabol birbirlerine iki noktada teğet olamazlar.
>> >>> >>> >> >>> >>> ispatlayınız.
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>> RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> >> >>> >>> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> >> >>> >>> MATEMATİK.
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>> 29 Haziran 2011 00:18 tarihinde barbaros gur
>> >>> >>> >> >>> >>> <bhgur71@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> >>> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>> 1) y=3x+4
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>> 2) f(x)=(x^2-1)^2+(x^2-4)^2+x^2
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>> 28 Haziran 2011 23:53 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> >> >>> >>>> <rsmzncr@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> >>>> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>> başkatsayısı 1 olan y=-x^2 parabolüne x=-2, x=-1,x=0,
>> >>> >>> >> >>> >>>>> x=1,
>> >>> >>> >> >>> >>>>> x=2
>> >>> >>> >> >>> >>>>> noktalarında teğet olan en küçük dereceli polinom
>> >>> >>> >> >>> >>>>> fonksiyonu
>> >>> >>> >> >>> >>>>> yazınız.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>> RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> >> >>> >>>>> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> >> >>> >>>>> MATEMATİK.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>> 28 Haziran 2011 23:39 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ
>> >>> >>> >> >>> >>>>> <rsmzncr@gmail.com> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> emeklerinize sağlık Muharrem Hocam.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> ben de bir soru gondereyim artık.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> f(x)=x^2+(2m+3)x+m^2+4
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> parabollerinin teğet olguğu doğrunun denklemi nedir?
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> RASİM ZENCİR
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> BEYNİN MEYVASIDIR
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> MATEMATİK.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> 28 Haziran 2011 22:45 tarihinde Muharrem Şahin
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> <muharrem49@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> pdf biçimini de gönderiyorum.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> 28 Haziran 2011 22:32 tarihinde Muharrem Şahin
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> <muharrem49@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> > Temeli Rasim Zencir Hocama ait olan çözümü
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> > gönderiyorum.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> > Genel çözüm yolunu Arda Er Hocam verdiği için
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> > ayrıca yazmaya gerek duymadım.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >  nispeten kolay
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> uygulanabiliyor. İkinci sorudaki son terimin
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> tam kare kısmı dikkate alınıp soru ilkine
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> benzetilince, ikincisine de uygulanabiliyor.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> İlgilenenler bir süre bu yol üzerinde
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> düşünürlerse
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> iyi bir jimnastik olur, diye düşünüyorum.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> Ben yarın akşam o çözümü yazabileceğim.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> Sevgiler, saygılar.
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> 27 Haziran 2011 13:12 tarihinde arda er
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> <ardaer36@gmail.com>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >> yazdı:
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> Saygıdeğer Muharrem Hocam,sizin için
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> birazuğraştım,inşallah
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> soruya yakışır
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> ,istediğiniz gibi çözüm olmuştur.Herkesesaygı
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> veselamlar
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> --
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> >
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> --
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>> >>>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>> --
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>> --
>> >>> >>> >> >>> >>>> İradene hakim, vicdanına mahkum ol...
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>> --
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>>
>> >>> >>> >> >>> >>>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>> >>>
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >> --
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >>
>> >>> >>> >> >>> >> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> > --
>> >>> >>> >> >>> > İradene hakim, vicdanına mahkum ol...
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> > --
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>> > http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>> >
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> --
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>>
>> >>> >>> >> >>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >>
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> > --
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >> > http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >> >
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >> --
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >>
>> >>> >>> >> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >
>> >>> >>> > --
>> >>> >>> >
>> >>> >>> >
>> >>> >>> > http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>> >
>> >>> >>>
>> >>> >>> --
>> >>> >>>
>> >>> >>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >>
>> >>> >
>> >>> > --
>> >>> > http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>> >
>> >>>
>> >>> --
>> >>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >>
>> >
>> > --
>> > http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>> >
>>
>> --
>> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>
> --
> http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
>

--

http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf