Bir vektör uzayını germe üzerine sorulara verebildiğim cevaplarım:
karşılığı olarak getirilmiştir.
"Span" Türkçede isim olarak "karış", fiil olarak "karışlama"
anlamlarına gelir.
I.
v = k.v1
eşitliğinde, k reel sayısına sonsuz değişik değer verilerek,
v1 doğrultusundaki sayı doğrusunun her noktası elde edilebilir.
Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,
(Bir boyutlu vektör uzayı) bu v1 vektörü ile elde edilmiş olur.
- bu bir boyutlu uzay v1 vektörü ile üretilmiş olur.
- bu bir boyutlu uzayın her noktası v1 "karış"ı ile "karışlanmış" olur.
- v1 vektörü ile bu bir boyutlu uzayın her noktası taranmış olur.
- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayı germiş olur.
- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayın bir "taban"ıdır. Bir "baz"ıdır.
II.
v1 ve v2 vektörleri doğrusal bağımlı olsunlar.
Örneğin; v1 = (1,2) ve v2 = (2,4) olsun.
v2 = 2.v1 olup vektörler doğrusal bağımlıdır.
Bu durumda "k.v1" ve "k.v2" uzayları aynı uzay olurlar.
"v1" ve "v2" vektörleri ayrı ayrı bu bir boyutlu uzayın birer
tabanı (birer bazı) olurlar.
Aynı bir boyutlu uzay, "k1.v1 + k2.v2" toplamında k1 ve k2 'ye
sınırsız sayıda değer verilerek de elde edilebilir.
Bu durumda da {v1,v2} kümesi aynı bir boyutlu uzayı "germiş"
ya da "üretmiş" olur. Ama; bu kümeye
- gereksiz eleman bulundurduğu için olacak - "taban" denmez.
{v1}, {v2}, {v1,v2} kümelerinden {v1} ve {v2} birer taban;
{v1,v2} ise sadece "üreteç"tir.
III.
v1 = (x1,y1) ve v2 = (x2,y2) vektörleri doğrusal bağımsız ise
-yani 1. dereceden bir denklemle aralarında bir bağıntı kurulamıyorsa-
R^2 nin her noktasını, v = k1.v1 + k2.v2 eşitliğindeki k1 ve k2
kat sayılarına uygun değerler vererek elde edebiliriz.
Bu durumda, R^2 nin elemanlarından kurulu {v1, v2, v3} gibi,
ikiden fazla elemanlı her kümenin doğrusal bağımlı olacağı açıktır.
IV.
v1 = (x1,y1,z1) ve v2 = (x2,y2,z2) vektörleri doğrusal bağımsız ise
tüm "k1.v1 + k2.v2" vektörlerinin kümesi, yine 2 boyutlu bir uzaydır.
{v1,v2} kümesi yine 2 boyutlu bir uzayı gerer.
Bu 2 boyutlu uzay R^2 değil, R^3 'ün bir alt uzayıdır.
Yani; 3 boyutlu uzaydaki konumu bilinen bir düzlemdir.
Bu durumda, {v1,v2,v3} kümesi doğrusal bağımlı da olabilir, bağımsız da.
Genel olarak; n boyutlu uzayın vektörlerinden oluşan n+1 elemanlı
bir küme kesinlikle doğrusal bağımlı olur.
V.
1. v = (4) vektörü bir boyutlu uzayın sıfırdan farklı bir vektörüdür.
-Bu vektör, 1 boyutlu uzayın bir tabanıdır.
- (4) vektörü, içinde bulunduğu uzayı gerer.
2. v = (1,2) vektörü iki boyutlu uzayın bir vektörüdür.
Tüm "k.v" vektörlerinin kümesi R^2 nin bir alt uzayı olan
1 boyutlu bir uzayı gerer.
{(1,2)} kümesi, içinde bulunduğunu bildiğimiz uzayı germez.
Şöyle söyleyelim:
v = (1,2) vektörü, içinde bulunduğu 2 boyutlu uzayı germez;
bunun bir alt uzayını gerer.
3. v1 = (1,3) ve v2= (2,-1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin
içinde bulunduğu uzayı gerer. (v1 ve v2 doğrusal bağımsız olduğu için)
4. v1 = (1,3) ve v2 = (2,6) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde bulunduğu
iki boyutlu uzayı germez. R^2 nin bir alt uzayını gerer.
5. v1 = (1,0,-2) ve v2 = (-2,0,4) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde
bulunduğu 3 boyutlu uzayı germez. R^3 ün 1 boyutlu bir alt uzayını gerer.
6. v1 = (1,0,-2) ve v2 = (2,3,1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde
bulunduğu R^3 uzayını germez. R^3 ün 2 boyutlu bir alt uzayını gerer.
7. v1 = (1,2,3), v2 = (2,-1,0), v3 = (0, -2, 1), v4 = (-1,3,-2) olmak üzere
{v1,v2,v3} kümesi R^3 uzayını gerer.
{v1,v2,v3,v4} kümesi R^3 uzayını gerer.
Önceki açıklamalarım da yararlı olabilir:
1. R^2 nin bir bazı olarak e1 = (1,0) ve e2 = (0,1) vektörleri alınabileceği gibi;
v1 = (2,4) ve v2 = (-1,1) vektörleri de alınabilir.
Herhangi bir (x,y) noktasını x.e1 + y.e2 toplamı ile gösterebileceğimiz gibi;
a.v1 + b.v2 toplamı ile de elde edebiliriz.
2. Koordinat eksenleri dik olmak zorunda değildir.
Örneğin; doğrusal bağımsız vektörlerden,
v1 = (2,4)'ü taşıyan doğru x ekseni,
v2 = (-1.1)'i taşıyan doğru y ekseni olarak alınabilir.
Böyle bir koordinat sisteminde her bir (x,y) noktası
x.v1 + y.v2 toplam vektörünün gösterdiği bir vektöre
karşılık gelir.
3. (2,4) = k.(1,2) eşitliğini sağlayan bir k değeri var
olduğundan (2,4) ve (1,2) vektörleri lineer bağımlıdır.
(2,4) = k.(3,1) eşitliğini sağlayan bir k değeri
bulunmadığından (2,4) ve (3,1) vektörleri lineer bağımsızdır.
a.(2,4) + b.(3,1) = (-1,-7) eşitliğini sağlayan a ve b değerleri
bulunabileceğinden (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri lineer bağımlıdır.
4. R^2 uzayının her (x,y) noktası
(x,y) = a.(2,4) + b.(3,1) toplamı ile elde edilebileceği gibi,
(x,y) = c.(2,4) + d.(3,1) + e.(-1,-7) toplamı ile de elde edilebilir.
(2,4), (3,1) vektörleri R^2'yi gererler. Bunlar lineer bağımsız
olduğundan bir baz oluştururlar.
(2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri de R^2 uzayını gererler. Ancak;
bunlar lineer bağımlı olduklarından bir baz oluşturmazlar.
Bunlara "üreteç" denir. "Baz" denmez.
Benim açıklamayı unuttuğum bir husus var ise hatırlatınız.
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder