T={v1, v2, v3,...,vn} kümesinin 1, 2 ya da 3 boyutlu uzayın tabanı (bazı) olabilmesi için şu iki şart gereklidir.
i) T kümesi bahsi geçen uzayı germeli.
Peki nasıl?
k1.v1+k2.v2+k3.v3+...+kn.vn ifadesine v1, v2, v3,...,vn vektörlerinin lineer (doğrusal) birleşimi (kombinasyonu) denir. Eğer bir uzayın tüm elemanları bu lineer birleşim yardımıyla yazılabiliyorsa "v1, v2, v3,...,vn elemanlarından oluşan T kümesi bu uzayı gerer" denir.
ii) T kümesinin elemanı olan vektörler lineer (doğrusal) bağımsız olmalı.
Peki nasıl?
k1.v1+k2.v2+k3.v3+...+kn.vn=0 eşitliği k1, k2, k3,...,kn reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanıyorsa v1, v2, v3,...,vn vektörleri lineer bağımlıdır. Eğer bu eşitlik sadece k1=k2=k3=...=kn=0 olması halinde sağlanıyorsa v1, v2, v3,...,vn vektörleri lineer bağımsızdır. İki vektör için lineer bağımlı olup olmadıkları paralel olup olmadıklarına bakılarak anlaşılabilir; iki vektör paralel ise lineer bağımlı, paralel değil ise lineer bağımsızdır. İki vektör için neden böyle olduğu çok nettir zaten. İkiden çok vektör için tabi ki böyle bir şey denilemez.
Peki neden T kümesinin taban olabilmesi için elemanlarının lineer bağımsız olması gerekiyor?
v1=(2, 4) ve v2=(4,-2) vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını ve iki boyutlu uzayı gerdiklerini görmek zor değil. O halde v1, v2 vektörlerinin oluşturduğu iki elemanlı vektör kümesi (T={v1, v2} diyelim biz ona) iki boyutlu uzayın tabanıdır. Yani av1+bv2 lineer birleşimi yardımıyla iki boyutlu uzayın tüm elemanları (bu elemanların her biri aynı zamanda bir vektörü ifade eder) elde edilebilir. Diyelim ki u vektörünü elde ettik. u=av1+bv2 yani... İşte buradaki (a, b) ikilisine u vektörünün T bazına göre bileşenleri denir. Mesela (8, 6)=2.(2, 4)+1.(4, -2) olduğundan (8, 6) vektörünün T bazına göre bileşenleri (2, 1) dir.
(i=(1, 0) ve j=(0, 1) vektörlerini hatırlayalım. T={i, j} kümesi de 2 boyutlu uzayın bir tabanıdır. (a, b)=ai+bj olduğundan (a, b) vektörünün T={i, j} tabanına göre bileşenleri (a, b) dir. Neden en çok bahsi geçen ve kullanılan taban olduğu daha net anlaşılmıştır herhalde)
Bir vektörün bir tabana göre bileşeninin tek olduğu çok net görülüyor. İŞTE VEKTÖRLERİN LİNEER BAĞIMSIZ OLMALARININ GEREKLİLİĞİ BURADA SAKLI... Lineer bağımsız oldukları için herhangi bir vektör tek türlü yazılabiliyor ve bu da o vektörün o tabana göre tek bir bileşenle ifade edilmesini sağlıyor. Onun içindir ki vektörlerin uzayı germesi yetmez bir de lineer bağımsız olmaları gereklidir diyoruz.
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder