1. Matematik Doğada Var mıdır?
Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var.
Aşağı
yukarı şöyle savunuyorlar:
Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel
nokta
boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda
dokundurduğumuzda elde ettiğimiz "nokta" boyutludur, matematiksel
nokta gibi
boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı
vardır.
"İşte nokta" diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada
matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır.
"Nokta"
kavramı insanların uydurması/yaratısıdır.
Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne
çizdiğimiz
"düz" çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla
boyutu
vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her "düz"
çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel
doğru
bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada "sonsuz" da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki
molekül,
atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz,
kimse
sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu
düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589... diye
sonsuza
uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra
gelen
sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani
sonsuz
olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi'yi tam olarak yazamaz.
pi'yi, bir
çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak
tanımlamak,
pi'nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi
ve
çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi'yi değil, pi'ye
yaklaşık
bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember
yoktur!
Doğada "işte çember" diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember
matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten uygulamada hiçbir
zaman
pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 = 314159/10000 gibi
kesirli
sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi'nin doğada olmadığı savını
desteklemez mi?
Doğada pi olmadığı gibi, 0,9999999... sayısı da yoktur . Çünkü bu
sayıyı
yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 koymalıyız ve ne yazık ki bu
iş
için yeterince zamanımız yoktur!
Doğada "bir" yoktur. Doğada olsa olsa "bir elma, bir armut" vardır.
Ama
doğada "bir" yoktur. Hatta doğada "bir elma" bile yoktur. Elmayla
elmanın
bulunduğu ortam arasındaki sınır tam belli değildir ki! Elmayla,
elmanın
bulunduğu ortam arasında sürekli molekül alışverişi vardır. Örneğin
çürümeye
yüz tutan bir elmanın tam ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir
miyiz?
Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada
"bir"
yoktur. Doğada "bir" olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları
insanlar
yaratmışlardır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır.
Olan
nesneleri sayamadığımızı yukarda gördük, olmayan nesneleri saymak daha
da
zor olsa gerek !
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları
hele
hiç yoktur!
Matematiğin doğada olmadığı herhalde üç aşağı beş yukarı böyle
savunulur.
Bu felsefi hatta metafizik düşünceler hafife alınmamalı. Bir örnek
daha
vererek bu düşüncelerin yabana atılmaması gerektiğini göstereyim.
Bildiğimiz
uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının
bir
uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz.
Elde
ettiğimiz iki yarım metrenin herbirini de ikiye bölebiliriz. Elde
ettiğimiz
çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı
ikiye
bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza değin yapabiliriz. Sonsuza
değin
olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böle böle,
bir
atomun, bir elektronun, adını bilmediğim birçok parçacığın
boyutlarından
daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye
bölünmez.
Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı
dilediğimiz
kez ikiye bölemeyiz. Bir zaman sonra, fizik/doğa, uzayı ikiye
bölmemizi
engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta
arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı
bölebiliyoruz
ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel
uzay tam
bir uzlaşım içinde değildir .
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusu, matematiksel kavramların
yaratı mı,
yoksa keşif mi olduğu sorusuyla içiçedir.
Örneğin Amerika keşfedilmiştir, yaratılmamıştır; güneşin varlığı
insanın
varlığından bağımsızdır; yerçekimi insandan ve hatta yeryüzünden
bağımsız
vardır.
İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin
olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız
varolamayacağı
sonucu çıkmaz.
Öklid düzlemi, üçgen ve açı gibi geometrik kavramlar, grup, halka ve
cisim
gibi cebirsel yapılar, iki değerli (doğru ve yanlış değerli) mantık
birer
keşif midir, yoksa matematikçilerin yaratıları mıdır?
Bir başka deyişle matematik, Amerika anakarası gibi, güneş gibi,
yerçekimi
gibi, bizim dışımızda var mıdır? Matematiksel kavramların varlıkları
da
insandan bağımsız mıdır?
Tartışma bizi zorunlu olarak bu soruya da sürükleyecek.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için, her şeyden
önce
doğayı tanımlamalıyız. Doğa ne demektir? Doğa tanımlanmadıkça,
matematiğin
doğada olup olmadığı sorusu tam anlamı olmayan, ancak sezgiyle
kavranabilen
bir soru olarak kalacaktır.
Bu yazıda doğayı tanımlamaya kalkışmayacağım. Çünkü bu yazının amacı
doğayı
tanımlamak değil, "doğa" kavramına açıklık getirmek. Bu yazıda,
matematiğin
doğada bulunmadığını savunanların doğa kavramını sorgulayacağım. Bu
kavramın
daha geniş tutulması gerektiğini, matematiğin doğada olmadığına
inananların
oldukça basitleştirilmiş ve bence eksik bir doğa kavramına sahip
olduklarını
ve ne derece soyut olursa olsun, matematiği matematikçinin
yaratmadığını ama
keşfettiğini, yani matematiğin insandan bağımsız varolduğunu
savunacağım.
Her ne denli "doğa" sözcüğünü tanımlamayacaksam da, sözcüğü çok geniş
anlamda kullandığımı belirtmeliyim. "Doğa" sözcüğü salt yaşadığımız
dünyayı
ve yakın çevresini kapsamıyor bu yazıda. Çok daha geniş anlamda
kullanıyorum
sözcüğü. Belki de "doğa" yerine "evren" ya da "dışdünya" demem daha
doğru
olurdu.
2-Matematiğin Kaynağı Doğadır.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce.
Matematik
ve matematiksel kavramlar - doğada veya bir başka yerde - var mıdır?
Bu
soruyu ele alalım.
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin
uydurması
olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. "Bir"
kavramı,
"çember" kavramı, "pi" kavramı vardır. Matematiksel kavramlar -
doğada
olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa,
düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa - vardırlar.
Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok.
Zaten bu
kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları
sorusu
sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir
gerçek
aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum.
Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin
varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan
kaynaklanır.
Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. "Saf düşünce ürünü"
diye bir
şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden
kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut
düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki
dünyadır.
Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek
olur.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani
matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından
matematiğin
ana kaynağı matematikçinin dışındadır.
3. Matematik ve Teknoloji.
Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz
gözönüne
alınınca, matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı da belli
oluyor
zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı
bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı
kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe
oldukça
sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir
ölçüde
bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada "bir" olsun veya
olmasın,
matematikteki "bir" kavramıyla tansıklar yaratılıyor: uzaya
gidiliyor,
gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle
öbür
köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor... Matematik
doğanın
yasalarını ve mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan
bir
bilim dalı ve bir uğraştır.
Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle,
kimyayla,
mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri
sürülebilir. Bu
sav hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik
en
beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte
bile
nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır.
Aynı
ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye
uygulanan
fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor,
uygulamaya
sonra geçiliyor.
Matematiğin yararlarından bir başka yazımda sözedeceğimden bu konuyu
kısa
kesiyorum. Şimdilik şunu aklımızda tutalım: 1) Uygulanan matematik
vardır,
2) Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır ve
yapılmaktadır,
3) Bugün soyut sanılan matematik gelecekte doğrudan ya da dolaylı
olarak
uygulama alanı bulabilir (bulamayabilir de.)
4. Matematik Doğayı Yorumlar.
kinci bölümde matematiğin kaynağının bizim dışımızdaki dünya olduğunu
söyledim. Bu savım yanlış anlaşılmasın: beynimizin dışdünyayı, bizim
dışımızdaki gerçeği yorumlamadığını söylemiyorum. Cézanne'ın elmaları
ve
manzaraları, Picasso'nun ölüdoğaları (natürmortları) ve çıplakları
doğanın
aynen resmedilişi değildir, bir yorumdur. Matematik de resim gibi
doğayı
yorumlar. Örneğin iki nokta arasındaki uzay parçası matematikte bir
sayıyla
(iki nokta arasındaki uzaklıkla) ifade edilir. Elbette bir sayı ve bir
uzay
parçası arasında ayrım vardır. Burda bir yorum sözkonusudur.
Bir başka örnek vereyim: beş metre uzunluğunda bir cetvel üzerinde
pi'nin
yerini tam olarak gösteremeyiz. O zaman doğada fiziksel anlamda pi
sayısının
olup olmadığını nerden biliyoruz?
Biraz daha ileri gideyim. Doğada, fiziksel anlamda, 0'dan büyük ama
1/2'den,
1/3'ten, 1/4'ten ve genel olarak her n > 0 tamsayısı için 1/n'den
küçük bir
sayının olmadığını kabul ediyoruz. Yani, sonsuz küçük sayıların
doğada
fiziksel anlamda olmadıklarını kabul ediyoruz. Neden? Doğada fiziksel
anlamda sonsuz küçük sayıların olmadığı nerden belli? Belki sonsuz
küçük
sayılar var da biz (sonsuz küçük olduklarından) gözlemleyemiyoruz. Bu
bir
olasılıktır. Hiç kimse bize doğada sonsuz küçük sayıların olmadığına
güvence
veremez .
Demek istediğim, doğadaki uzaklıkların bildiğimiz gerçel sayılarla
ölçülebileceği varsayımının doğanın bir yorumu olduğudur.
Son bir örnek daha vereyim. Matematikte 3 sayısı {0,1,2} kümesi
olarak, 2
sayısı {0,1} kümesi olarak, 1 sayısı {0} kümesi olarak tanımlanır. 0
sayısıysa Ø olarak, yani boşküme olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi
sayıların
matematiksel tanımı bir yorumdur. "Üç"ün bir küme olarak tanımlanması
ve
hele {0,1,2} kümesi olarak tanımlanması için görünürde bir neden
yoktur .
Demek ki matematik doğayı yorumlar, tam olarak betimlemez. Bu yorum
kusursuz
bir yorum olmayabilir, ama bir önceki bölümde de savunduğum gibi
büsbütün
kusurlu da değildir.
5. Modern Matematik Bir Zorunluluktur.
Nokta, doğru, çember, pi, 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna
inanan, ancak modern matematiğin doğada bulunduğuna inanmayanlar
olabilir.
Bu düşünceyi de paylaşmıyorum. Bu bölümde modern matematiğin bir
zorunluluk
olduğunu savunacağım.
Modern matematik matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa,
modern
matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün
soyut
matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini
incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış
başka
kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların
bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir
geçmişi,
varoluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken
yeni bir
kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir
gereksinim
sonucudur.
Örneğin, doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri
kavramından
süreklilik, limit ve türev kavramları, bu kavramlardan sonsuz küçük
kavramı,
sonsuz küçük kavramından sonsuz büyük kavramı doğar. Sayılar
kavramından
polinom ve cisim kavramları, bu kavramlardan grup kavramı doğar.
Uzaklık
kavramından topolojik uzay kavramı, topolojik uzay ve türev
kavramlarından
manifold kavramı doğar.
Bir örnek daha vereyim. Diyelim ilkel bir toplum 20'ye değin
saymasını
biliyor ve 20'den büyük sayılar için "çok" terimini kullanıyor. Bu
ilkel
toplumun 21, 22, 23 sayılarını zamanla öğreneceğinden kuşkumuz
olmamalı.
20'ye dek sayabilmek belli bir zekânın göstergesidir. 20'ye değin
sayabilen
bir toplumun 21'i öğrenemeyeceğini düşünemeyiz. Bu ilkel toplum gel
zaman
git zaman 21'i, 22'yi, 23'ü öğrenecek, hatta "artı 1" kavramına
ulaşacaktır.
Arkası kendiliğinden gelir. "Artı 1" kavramına ulaşan bir toplum
kolaylıkla
evrendeki "parçacık" sayısından daha büyük sayılara ulaşır. Oysa
evrende
böyle bir sayı fiziksel olarak yoktur, ama "artı 1" soyutlaması bu
sayıyı
"yaratır". Fiziksel olarak evrende bulunmayan bu çok büyük sayılardan
"sonsuz" kavramına varmak zor değildir.
Ben gerçekten de "sonsuz" ve "artı 1" soyutlamasına erişmek için 20'ye
değin
sayabilmenin yeterli olduğuna inanıyorum. 20'ye değin sayabilen
toplumların,
salt bu kavramları değil, ne derece soyut olursa olsun, her
matematiksel
kavramı bir zaman sonra bulacağına inanıyorum.
Yukarda, her kavramın bir başka kavramdan doğduğunu söyledim. Biraz
daha
ileri gideyim: Matematikçi tanımlayacağı kavramları karşısında
tanımlanmaya
hazır bulur. Dahaca tanımlanmamış kavramlar matematikçinin kâğıtları
arasından sırıtır. Bu kavramı görmek matematikçi için bir zaman
sorunudur.
Örneğin "asal sayı" kavramı tamsayılarla uğraşan herkesin karşısına
çıkar.
Asal sayı kavramı bir matematikçinin durup dururken birdenbire bulduğu
bir
kavram değildir. Sayı kavramı asal sayı kavramını içinde taşır.
Sayıları
anlamak isteyen her akıllı yaratık, asal sayı kavramını bulmak
zorundadır.
Her matematiksel kavram daha önce bulunmuş matematiksel kavramlardan
kaçınılmaz olarak doğar.
Ayrıca, matematiksel kavramlar kendilerini salt bir dalda
göstermezler. Aynı
kavram, birbiriyle ilintisiz gibi görünen birçok araştırmada, birçok
matematik dalında ortaya çıkabilir. pi sayısı buna güzel bir
örnektir.
pi'nin raslanmadığı matematiksel konu yok gibidir.
Sonuç olarak, modern matematiğin doğada varolduğunu kanıtlamak için,
nokta
gibi, doğru gibi, 1, 2, 3 gibi, 0 ve pi gibi, sonsuzluk gibi temel
matematiksel kavramların doğada varolduklarını kanıtlamam gerekiyor.
Matematiğin bu başat kavramlarının doğada varolduklarını
kanıtlayabilirsem,
bu kavramların zorunlu bir sonucu olan çok soyut matematiksel
kavramların da
doğada olduklarını kanıtlamış olacağım.
--
Farkli Olmak İstiyorsan FARKLİ Ol...
--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
