11 Şubat 2012 20:50 tarihinde Muharrem Şahin <muharrem49@gmail.com> yazdı:
Periyot üzerine
--Bir f fonksiyonundaf(x+T) = f(x)eşitliğini, x'in her değeri için sağlayanen küçük T pozitif reel sayısına f fonksiyonununperiyodu denir.Bu T sayısının tam katlarına da periyod denilebilir.Farkı belirtebilmek için, en küçüğüne esas periyot diyoruz.Temel trigonometrik fonksiyonların periyotlarınınnasıl bulunduğunu örneklerle gösterelim:Öncelikle;f(x) = sinx, g(x) = cosx fonksiyonlarının periyotlarının "2.pi";h(x) = tanx, k(x) = cotx fonksiyonlarının periyotlarının "pi"olduğu birim çemberden ya da bunların grafiklerinden hemengörülebilir.Örnek-1f(x) = sinx fonksiyonununun periyodunu bulalım.f(x+T) = f(x) isesin(x+T) = sinx isesin(x+T) = sin(x+2.pi) iseT = 2.piÖrnek-2f(x) = cos3x in periyodunu bulalım.f(x+T) = f(x) isecos[3(x+T)] = cos(3x + 2.pi) isecos(3x+3T) = cos(3x + 2.pi) ise3T = 2.pi iseT = 2.pi/3Örnek-3f(x) = tan(2x + pi/3) ün periyodunu bulalım.f(x+T) = f(x) isetan[2(x+T) + pi/3] = tan(2x + pi/3 + pi) isetan(2x + 2T + pi/3) = tan(2x + pi/3 + pi) ise2T + pi/3 = pi/3 + pi iseT = pi/2Bu ilk örneklerdeki gibi davranılarak,f(x) = a + b.sin(mx+k) veg(x) = a + b.cos(mx+k) fonksiyonlarınınperiyotlarının T = 2.pi/m;h(x) = a + b.tan(mx+k) ver(x) = a + b.cot(mx+k) fonksiyonlarınınperiyotlarının T = pi/m olduğu bulunur.Örnek-4f(x) = 2sin4x - cos6x fonksiyonununperiyodunu bulalım.g(x) = 2sin4x in periyodu T1 = 2.pi/4 = pi/2;h(x) = cos6x in periyodu T2 = 2.pi/6 = pi/3 tür.g fonksiyonu boyu pi/2 nin katları olan aralıklarda,h fonksiyonu boyu pi/3 ün katları olan aralıklardakendini tekrar edecektir.Öyleyse; f fonksiyonunun kendini tekrar ettiğien dar aralığın boyu, yani f'nin esas periyoduT1 ve T2'nin EKOK'u olacaktır.T = EKOK(pi/2,pi/3) = pi.Birinci dereceden temel fonksiyonların toplamlarıolarak verilen fonksiyonların esas periyotları,toplamı oluşturan terimlere karşılıkgelen fonksiyonların, ayrı ayrı esas periyotlarınınOKEK'idir.Örnek-5f(x) = 2sin^2 x + 3cos^2 x fonksiyonununperiyodunu bulalım.Önce; verilen fonksiyonu 1. derecedenterimlerle ifade edelim.f(x) = 2(sin^2 x + cos^2 x) + cos^2 x isef(x) = 2 + cos^2 x isef(x) = 5/2 + 1/2.cos 2x iseT = 2.pi/2 iseT = pi bulunur.Temel trigonometrik fonksiyonların yüksekkuvvetlerinin periyotlarını bulmak için- bazı genellemeler önerilse de- en yanılmaz yol,terimlerin derecelerini 1'e indirgemektir.Bu önerimiz; toplam, çarpım bölüm gibiher türlü işlemi içeren karmaşık ifadeler için degeçerlidir.Bu tür karmaşık ifadelerde ögelerin ayrı ayrıperiyotlarının OKEK'i fonksiyonun bir periyodu olur.Ancak; bu periyot, esas periyot olmayabilir.Bu uyarıları gözden uzak tutmamak koşuluylaşu genellemeler yapılabilir:f(x) = sin^n (mx +k) veg(x) = cos^n (mx +k) fonksiyonlarının periyotların tek ise 2pi/m,n çift ise pi/m dir.h(x) = tan^n (mx+k) ver(x) = cot^n (mx+k) fonksiyonlarından tek de olsa çift de olsa periyot pi/m dir.Örnek-6f(x) = 2.cos3x + 3.sinx - 4.sin^3 xfonksiyonunun periyodunu bulalım.Ayrıntılara inmeden terim terim bakarsak,g(x) = 2cos3x in periyodu T1 = 2.pi/3;h(x) = 3sinx in periyodu T2 = 2.pi;r(x) = 4sin^3 x in periyodu T3 = 2.pi olduğundanbunların OKEK'ini bulup T = 2.pi diyebiliriz.Ancak; biraz dikkat edersek, 2. ve 3. terimlertoplamının, sin3x'in açınımı olduğunu görürüz.f(x) = 2.cos3x + sin3x olupg(x) = 2cos3x in periyodu T1 = 2.pi/3;t(x) = sin3x in periyodu T2 = 2.pi/3 olduğundanT = 2.pi/3 bulunur.
Örnek-7f(x) = sin^4 x + cos^4 xfonksiyonunun periyodunu bulalım.Burada da genellemelere aldanırsak,g(x) = sin^4x in periyodu T1 = pi;h(x) = cos^4x in periyodu T2 = pi olduğundanT = pi diyebiliriz.Ancak; öyle olmadığını gösterelim:f(x) = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2.sin^2 x.cos^2 x isef(x) = 1 - 2.sin^2 x.cos^2 x isef(x) = 1 - 1/2.sin^2 2x ve sin^2 2x = 1/2 - 1/2 cos4xolduğu hatırlanırsa,T = 2.pi/4,T = pi/2 bulunur.Örnek-8f(x) = cos(tanx) periyodik fonksiyondur.Periyodu "2.pi"dir.f fonksiyonu [-pi/4,pi/4] U [3pi/4,5pi/4] aralığındaaldığı değerleri"2pi" boyundaki aralıklarınbelirtilecek kısımlarında tekrarlar."Belirtilecek kısımları" diyorum.Örneğin; f, [pi/4,3pi/4] U [5pi/4,7pi/4] aralığında tanımsızdır.Yukarıda verdiğim aralıktan sonra, bu aralıktaki şeklintekrarı [7pi/4,9pi/4] U [11pi/4,13pi/4] aralığında olur.
Örnek-9f(x) = sin9x / cos3x fonksiyonunun periyodunu bulalım.Trigonometrik fonksiyonların esas periyotlarınıbulmak için, fonksiyon toplam biçimine getirilmelidir.f(x) = sin9x / cos3x = (3sin3x-4sin^3 3x) / cos3xf(x) = 3tan3x - 4sin^2 3x . tan3xf(x) = 3tan3x - 4(1-cos^2 3x) . tan3xf(x) = 3tan3x - 4tan3x + 4sin3x . cos3xf(x) = -tan3x +2sin6xT = OKEK (pi/3,pi/3) = pi/3 olur.Örnek-10f(x) = cos3x + sinx /(1 + sin2x)fonksiyonunun periyodunu bulalım.
Burada ikinci terim sorun yaratıyor.
y = g(x)'in periyodu T ise y = h(x) = 1 / g(x) in periyodu da T'dir.
Buna göre; şöyle yapabiliriz:
sinx / (1+ sin2x) in çarpımsal tersi 1/sinx + 2cosx olur.
y = sinx'in periyodu 2pi, y = 1/sinx in periyodu 2pi,y = cosx in periyodu 2pi olduğundany = 1/sinx + 2cosx periyodu 2pi olupy = sinx / (1+ sin2x) fonksiyonunun periyodu T2 = 2pi olur.
y = cos3x fonksiyonunun periyodu da T1 = pi/3 olduğundan
f fonksiyonun periyodu T = 2pi olur.
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
--
Milli varlığımızın temelini;milli şuurda ve milli birlikte görmekteyiz.
Mustafa Kemal ATATÜRK
--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf
