Re: Fwd: [TMOZ:495988] Re: muharrem hocam

her zamanki gibi muhteşemsiniz Hocam...

11 Şubat 2012 20:50 tarihinde Muharrem Şahin <muharrem49@gmail.com> yazdı:

Periyot üzerine

Bir f fonksiyonunda 

f(x+T) = f(x)

eşitliğini, x'in her değeri için sağlayan

en küçük T pozitif reel sayısına f fonksiyonunun

periyodu denir.

Bu T sayısının tam katlarına da periyod denilebilir.

Farkı belirtebilmek için, en küçüğüne esas periyot diyoruz.

Temel trigonometrik fonksiyonların periyotlarının

nasıl bulunduğunu örneklerle gösterelim:

Öncelikle;

f(x) = sinx,   g(x) = cosx fonksiyonlarının periyotlarının "2.pi";

h(x) = tanx,  k(x) = cotx fonksiyonlarının periyotlarının "pi"

olduğu birim çemberden ya da bunların grafiklerinden hemen

görülebilir.

Örnek-1

f(x) = sinx fonksiyonununun periyodunu bulalım.

f(x+T) = f(x) ise

sin(x+T) = sinx ise

sin(x+T) = sin(x+2.pi) ise

T = 2.pi

Örnek-2

f(x) = cos3x in periyodunu bulalım.

f(x+T) = f(x) ise

cos[3(x+T)] = cos(3x + 2.pi) ise

cos(3x+3T) = cos(3x + 2.pi) ise

3T = 2.pi ise

T = 2.pi/3

Örnek-3

f(x) = tan(2x + pi/3) ün periyodunu bulalım.

f(x+T) = f(x) ise

tan[2(x+T) + pi/3] = tan(2x + pi/3 + pi) ise

tan(2x + 2T + pi/3) = tan(2x + pi/3 + pi) ise

2T + pi/3 = pi/3 + pi ise

T = pi/2

Bu ilk örneklerdeki gibi davranılarak,

f(x) = a + b.sin(mx+k) ve

g(x) = a + b.cos(mx+k) fonksiyonlarının

periyotlarının T = 2.pi/m;

h(x) = a + b.tan(mx+k) ve

r(x) = a + b.cot(mx+k) fonksiyonlarının

periyotlarının T = pi/m olduğu bulunur.

Örnek-4

f(x) = 2sin4x - cos6x fonksiyonunun 

periyodunu bulalım.

g(x) = 2sin4x in periyodu T1 = 2.pi/4 = pi/2;

h(x) = cos6x in periyodu T2 = 2.pi/6 = pi/3 tür.

g fonksiyonu boyu pi/2 nin katları olan aralıklarda,

h fonksiyonu boyu pi/3 ün katları olan aralıklarda

kendini tekrar edecektir.

Öyleyse; f fonksiyonunun kendini tekrar ettiği

en dar aralığın boyu, yani f'nin esas periyodu

T1 ve T2'nin EKOK'u olacaktır.

T = EKOK(pi/2,pi/3) = pi.

Birinci dereceden temel fonksiyonların toplamları

olarak verilen fonksiyonların esas periyotları,

toplamı oluşturan terimlere karşılık

gelen fonksiyonların, ayrı ayrı esas periyotlarının

OKEK'idir.

Örnek-5

f(x) = 2sin^2 x + 3cos^2 x fonksiyonunun 

periyodunu bulalım.

Önce; verilen fonksiyonu 1. dereceden 

terimlerle ifade edelim.

f(x) = 2(sin^2 x + cos^2 x) + cos^2 x ise

f(x) = 2 + cos^2 x ise

f(x) = 5/2 + 1/2.cos 2x  ise

T = 2.pi/2 ise

T = pi bulunur.

Temel trigonometrik fonksiyonların yüksek

kuvvetlerinin periyotlarını bulmak için

- bazı genellemeler önerilse de- en yanılmaz yol,

terimlerin derecelerini 1'e indirgemektir.

Bu önerimiz; toplam, çarpım bölüm gibi

her türlü işlemi içeren karmaşık ifadeler için de

geçerlidir.

Bu tür karmaşık ifadelerde ögelerin ayrı ayrı

periyotlarının OKEK'i fonksiyonun bir periyodu olur.

Ancak; bu periyot, esas periyot olmayabilir.

Bu uyarıları gözden uzak tutmamak koşuluyla

şu genellemeler yapılabilir:

f(x) = sin^n (mx +k)  ve

g(x) = cos^n (mx +k) fonksiyonlarının periyotları

n tek ise 2pi/m,

n çift ise pi/m dir.

h(x) = tan^n (mx+k) ve

r(x) = cot^n (mx+k) fonksiyonlarında

n tek de olsa çift de olsa periyot pi/m dir.

Örnek-6 

f(x) = 2.cos3x + 3.sinx - 4.sin^3 x

fonksiyonunun periyodunu bulalım.

Ayrıntılara inmeden terim terim bakarsak,

g(x) = 2cos3x in periyodu  T1 = 2.pi/3;

h(x) = 3sinx in periyodu T2 = 2.pi;

r(x) = 4sin^3 x in periyodu T3 = 2.pi olduğundan

bunların OKEK'ini bulup T = 2.pi diyebiliriz.

Ancak; biraz dikkat edersek, 2. ve 3. terimler

toplamının, sin3x'in açınımı olduğunu görürüz.

f(x) = 2.cos3x + sin3x olup

g(x) = 2cos3x in periyodu  T1 = 2.pi/3;

t(x) = sin3x in periyodu T2 = 2.pi/3 olduğundan

T = 2.pi/3 bulunur.

Örnek-7 

f(x) = sin^4 x + cos^4 x

fonksiyonunun periyodunu bulalım.

Burada da genellemelere aldanırsak,

g(x) = sin^4x in periyodu  T1 = pi;

h(x) = cos^4x in periyodu T2 = pi olduğundan

T = pi diyebiliriz.

Ancak; öyle olmadığını gösterelim:

f(x) = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2.sin^2 x.cos^2 x ise

f(x) = 1 - 2.sin^2 x.cos^2 x ise

f(x) = 1 - 1/2.sin^2 2x  ve sin^2 2x = 1/2 - 1/2 cos4x

olduğu hatırlanırsa, 

T = 2.pi/4,

T = pi/2  bulunur.

Örnek-8

f(x) = cos(tanx) periyodik fonksiyondur.

Periyodu "2.pi"dir.

f fonksiyonu [-pi/4,pi/4] U [3pi/4,5pi/4] aralığında

aldığı değerleri 

"2pi" boyundaki aralıkların 

belirtilecek kısımlarında tekrarlar.

"Belirtilecek kısımları" diyorum.

Örneğin; f, [pi/4,3pi/4] U [5pi/4,7pi/4]  aralığında tanımsızdır.

Yukarıda verdiğim aralıktan sonra, bu aralıktaki şeklin

tekrarı [7pi/4,9pi/4] U [11pi/4,13pi/4] aralığında olur.

Örnek-9

f(x) = sin9x / cos3x fonksiyonunun periyodunu bulalım.

Trigonometrik fonksiyonların esas periyotlarını

bulmak için, fonksiyon toplam biçimine getirilmelidir.

f(x) = sin9x / cos3x = (3sin3x-4sin^3 3x) / cos3x

f(x) = 3tan3x - 4sin^2 3x . tan3x

f(x) = 3tan3x - 4(1-cos^2 3x) . tan3x 

f(x) = 3tan3x - 4tan3x + 4sin3x . cos3x

f(x) = -tan3x +2sin6x

T = OKEK (pi/3,pi/3) = pi/3 olur.

Örnek-10

f(x) = cos3x + sinx /(1 + sin2x)

fonksiyonunun periyodunu bulalım.

Burada ikinci terim sorun yaratıyor.
y = g(x)'in periyodu T ise y = h(x) = 1 / g(x) in periyodu da T'dir.
Buna göre; şöyle yapabiliriz:
sinx / (1+ sin2x) in çarpımsal tersi  1/sinx + 2cosx olur.
y = sinx'in periyodu 2pi,  y = 1/sinx in periyodu 2pi, 

y = cosx in periyodu 2pi olduğundan 

y = 1/sinx + 2cosx periyodu 2pi olup

y = sinx / (1+ sin2x) fonksiyonunun periyodu T2 = 2pi olur.
y = cos3x fonksiyonunun  periyodu da T1 = pi/3 olduğundan
f  fonksiyonun periyodu T = 2pi olur.

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
Milli varlığımızın temelini;milli şuurda ve milli birlikte görmekteyiz.
Mustafa Kemal ATATÜRK

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf