periyodu denir.
Bu T sayısının tam katlarına da periyod denilebilir.
görülebilir.
f(x) = sinx fonksiyonununun periyodunu bulalım.
f(x) = cos3x in periyodunu bulalım.
f(x+T) = f(x) ise
cos[3(x+T)] = cos(3x + 2.pi) ise
cos(3x+3T) = cos(3x + 2.pi) ise
3T = 2.pi ise
T = 2.pi/3
Örnek-3
f(x) = tan(2x + pi/3) ün periyodunu bulalım.
f(x+T) = f(x) ise
tan[2(x+T) + pi/3] = tan(2x + pi/3 + pi) ise
tan(2x + 2T + pi/3) = tan(2x + pi/3 + pi) ise
2T + pi/3 = pi/3 + pi ise
T = pi/2
Bu ilk örneklerdeki gibi davranılarak,
f(x) = a + b.sin(mx+k) ve
g(x) = a + b.cos(mx+k) fonksiyonlarının
periyotlarının T = 2.pi/m;
h(x) = a + b.tan(mx+k) ve
r(x) = a + b.cot(mx+k) fonksiyonlarının
periyotlarının T = pi/m olduğu bulunur.
Örnek-4
f(x) = 2sin4x - cos6x fonksiyonunun
periyodunu bulalım.
g(x) = 2sin4x in periyodu T1 = 2.pi/4 = pi/2;
h(x) = cos6x in periyodu T2 = 2.pi/6 = pi/3 tür.
g fonksiyonu boyu pi/2 nin katları olan aralıklarda,
h fonksiyonu boyu pi/3 ün katları olan aralıklarda
kendini tekrar edecektir.
Öyleyse; f fonksiyonunun kendini tekrar ettiği
en dar aralığın boyu, yani f'nin esas periyodu
T1 ve T2'nin EKOK'u olacaktır.
T = EKOK(pi/2,pi/3) = pi.
Birinci dereceden temel fonksiyonların toplamları
olarak verilen fonksiyonların esas periyotları,
toplamı oluşturan terimlere karşılık
gelen fonksiyonların, ayrı ayrı esas periyotlarının
OKEK'idir.
Örnek-5
f(x) = 2sin^2 x + 3cos^2 x fonksiyonunun
periyodunu bulalım.
Önce; verilen fonksiyonu 1. dereceden
terimlerle ifade edelim.
f(x) = 2(sin^2 x + cos^2 x) + cos^2 x ise
f(x) = 2 + cos^2 x ise
f(x) = 5/2 + 1/2.cos 2x ise
T = 2.pi/2 ise
T = pi bulunur.
Temel trigonometrik fonksiyonların yüksek
kuvvetlerinin periyotlarını bulmak için
- bazı genellemeler önerilse de- en yanılmaz yol,
terimlerin derecelerini 1'e indirgemektir.
Bu önerimiz; toplam, çarpım bölüm gibi
her türlü işlemi içeren karmaşık ifadeler için de
geçerlidir.
Bu tür karmaşık ifadelerde ögelerin ayrı ayrı
periyotlarının OKEK'i fonksiyonun bir periyodu olur.
Ancak; bu periyot, esas periyot olmayabilir.
Bu uyarıları gözden uzak tutmamak koşuluyla
şu genellemeler yapılabilir:
f(x) = sin^n (mx +k) ve
g(x) = cos^n (mx +k) fonksiyonlarının periyotları
n tek ise 2pi/m,
n çift ise pi/m dir.
h(x) = tan^n (mx+k) ve
r(x) = cot^n (mx+k) fonksiyonlarında
n tek de olsa çift de olsa periyot pi/m dir.
Örnek-6
f(x) = 2.cos3x + 3.sinx - 4.sin^3 x
fonksiyonunun periyodunu bulalım.
Ayrıntılara inmeden terim terim bakarsak,
g(x) = 2cos3x in periyodu T1 = 2.pi/3;
h(x) = 3sinx in periyodu T2 = 2.pi;
r(x) = 4sin^3 x in periyodu T3 = 2.pi olduğundan
bunların OKEK'ini bulup T = 2.pi diyebiliriz.
Ancak; biraz dikkat edersek, 2. ve 3. terimler
toplamının, sin3x'in açınımı olduğunu görürüz.
f(x) = 2.cos3x + sin3x olup
g(x) = 2cos3x in periyodu T1 = 2.pi/3;
t(x) = sin3x in periyodu T2 = 2.pi/3 olduğundan
T = 2.pi/3 bulunur.
Örnek-7
f(x) = sin^4 x + cos^4 x
fonksiyonunun periyodunu bulalım.
Burada da genellemelere aldanırsak,
g(x) = sin^4x in periyodu T1 = pi;
h(x) = cos^4x in periyodu T2 = pi olduğundan
T = pi diyebiliriz.
Ancak; öyle olmadığını gösterelim:
f(x) = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2.sin^2 x.cos^2 x ise
f(x) = 1 - 2.sin^2 x.cos^2 x ise
f(x) = 1 - 1/2.sin^2 2x ve sin^2 2x = 1/2 - 1/2 cos4x
olduğu hatırlanırsa,
T = 2.pi/4,
T = pi/2 bulunur.
Örnek-8
f(x) = cos(tanx) periyodik fonksiyondur.
Periyodu "2.pi"dir.
f fonksiyonu [-pi/4,pi/4] U [3pi/4,5pi/4] aralığında
aldığı değerleri
"2pi" boyundaki aralıkların
belirtilecek kısımlarında tekrarlar.
"Belirtilecek kısımları" diyorum.
Örneğin; f, [pi/4,3pi/4] U [5pi/4,7pi/4] aralığında tanımsızdır.
Yukarıda verdiğim aralıktan sonra, bu aralıktaki şeklin
tekrarı [7pi/4,9pi/4] U [11pi/4,13pi/4] aralığında olur.
Örnek-9
f(x) = sin9x / cos3x fonksiyonunun periyodunu bulalım.
Trigonometrik fonksiyonların esas periyotlarını bulmak için, fonksiyon toplam biçimine getirilmelidir.
f(x) = sin9x / cos3x = (3sin3x-4sin^3 3x) / cos3x
f(x) = 3tan3x - 4sin^2 3x . tan3x
f(x) = 3tan3x - 4(1-cos^2 3x) . tan3x
f(x) = 3tan3x - 4tan3x + 4sin3x . cos3x
f(x) = -tan3x +2sin6x
T = OKEK (pi/3,pi/3) = pi/3 olur.
Örnek-10
f(x) = cos3x + sinx /(1 + sin2x)
fonksiyonunun periyodunu bulalım.
Burada ikinci terim sorun yaratıyor.
y = g(x)'in periyodu T ise y = h(x) = 1 / g(x) in periyodu da T'dir.
Buna göre; şöyle yapabiliriz:
sinx / (1+ sin2x) in çarpımsal tersi 1/sinx + 2cosx olur.
y = sinx'in periyodu 2pi, y = 1/sinx in periyodu 2pi,
y = cosx in periyodu 2pi olduğundan
y = 1/sinx + 2cosx periyodu 2pi olup
y = sinx / (1+ sin2x) fonksiyonunun periyodu T2 = 2pi olur.
y = cos3x fonksiyonunun periyodu da T1 = pi/3 olduğundan
f fonksiyonun periyodu T = 2pi olur.
